Polynésie, juin 2021

Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.

On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe représentative \(\mathscr{C}\) d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) .

On considère les points \(\text A(0~;~ 2)\) et \(\text B(2~;~ 0)\) .

Partie 1

Sachant que la courbe \(\mathscr{C}\) passe par \(\text A\) et que la droite \((\mathrm{AB})\) est la tangente à la courbe \(\mathscr{C}\) au point \(\text A\) , donner par lecture graphique les éléments suivants.

1. La valeur de \(f(0)\) et celle de \(f'(0)\) .

2. Un intervalle sur lequel la fonction \(f\) semble convexe.

Partie 2

On note \((E)\) l'équation différentielle \(y' = -y + \text{e}^{-x}\) .
On admet que \(g :\, x \mapsto x\text{e}^{-x}\) est une solution particulière de \((E)\) .

1. Donner toutes les solutions sur \(\mathbb R\) de l'équation différentielle \((H)\)   \(y' = -y\) .

2. En déduire toutes les solutions sur \(\mathbb R\) de l'équation différentielle \((E)\) .

3. Sachant que la fonction \(f\) est la solution particulière de \((E)\) qui vérifie \(f(0) = 2\) , déterminer une expression de \(f(x)\) en fonction de \(x\) .

Partie 3

On admet que, pour tout nombre réel \(x\) , \(f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}\) .

1. On rappelle que \(f'\) désigne la fonction dérivée de la fonction \(f\) .
    a. Montrer que, pour tout \(x \in \mathbb R\) , \(f'(x) = (-x - 1) \text{e}^{-x}\) .
    b. Étudier le signe de \(f'(x)\) pour tout  \(x \in \mathbb R\) et dresser le tableau des variations de \(f\) sur   \(\mathbb R\) . On ne précisera ni la limite de \(f\) en \(- \infty\) ni la limite de \(f\) en \(+ \infty\) . On calculera la valeur exacte de l'extremum de  \(f\) sur   \(\mathbb R\)   .

2. On rappelle que \(f''\) désigne la fonction dérivée seconde de la fonction \(f\) .
    a. Calculer, pour tout  \(x \in \mathbb R\) , \(f''(x)\) .
    b. Peut-on affirmer que \(f\) est convexe sur l'intervalle \([0\ ; +\infty[\) ?